在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。要培养学生的创造性思维,就应该有与之相适应的,能促进创造性思维培养的教学方式。当前,数学创新教学方式主要有以下几种形式:
1 、开放式教学。
这种教学在通常情况下,由教师通过开放题的引进,在学生参与下解决,使学生在问题解决的过程中体验数学的本质,品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放,一个问题可以有不同的结果;二是方法开放,学生可以用不同的方法解决这个问题;三是思路开放,强调学生解决问题时的不同思路。
2 、活动式教学。
这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动,包括模型制作、游戏、行动、调查研究等,使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。
3 、探索式教学。
采用“发现式”,引导学生主动参与,探索知识的形成、规律的发现、问题的解决等过程。
要培养学生的创造思维能力,应当在数学教学中充分有效地结合上述三种形式(但不限于这三种形式),通过逐步培养学生的以下各种能力来实现教学目标:
一 、培养学生的观察力。
敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么,在课堂中,怎样培养学生的观察力呢?第一,在观察之前,要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。第二,要在观察中及时指导。比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察,要指导学生选择适当的观察方法,要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。第三,要科学地运用直观教具及现代教学技术,以支持学生对研究的问题做仔细、深入地观察。第四,要努力培养学生浓厚的观察兴趣。
二、培养领悟力。
数学领悟力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来的。在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识,并能熟练的掌握数学的基本方法和基本技能,通过培养学生的领悟能力,优化学生的数学思维品质,让学生达到“真懂”的地步。例如:上圆锥曲线复习课时,当复习完椭圆、双曲线、抛物线的各自定义及统一定义后,突然有一学生提问:平面内到两定点F1,、F2的距离的积等于常数的点的轨迹是什么?这一意料外的问题使思路豁然开朗,我们也可以顺势提出以下问题引导学生,让学生探索:问题1 平面内到两定点F1,、F2的距离的积、商等于常数的点的轨迹是什么?问题2 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离的和等于常数的点的轨迹是什么?若联想到课本第61页第6题(两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点的轨迹方程),还可以提出下列问题:问题3 平面内到两定点F1,、F2的距离的平方积、商分别等于常数的点的轨迹是什么?问题4 平面内到定点F距离的平方与到定直线L的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么?
三、培养想象力。
想象是思维探索的翅膀。数学想象一般有以下几个基本要素。第一,要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二,要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三,要有执著追求的情感。因此,培养学生的想象力,首先要使学生学好有关的基础知识。其次,根据教材潜在的因素,创设想象情境,提供想象材料,诱发学生的创造性想象。另外,还应指导学生掌握一些想象的方法,像类比、归纳等。例如在一节高三复习课上,我准备用一题多解的开放视角引导学生探索如下的问题:
用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新,应该说思维非常巧妙。
学生2同样展示了他的新探究:
用向量来证明不等式,也是方法上的创新,这两种证法都体现了学生的大胆想象力、探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力是非常丰富的,一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。有时候,学生的想象力可能是“天马行空”,甚至是荒唐的,这时候教师还要注意引导:解题是否浪费了重要的信息?能否开辟新的解题通道?解题多走了哪些思维回路?思维、运算能否变得简洁?是否有方法的创新?能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究,梳理知识的系统性?能否加强知识的横向联系,把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”?为什么有这样的问题,它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发,得到一些重要的结果,有规律性的发现?能否形成独到的新见解,有自己的小发明?等等。通过不断地想象,让学生的思维能够持续飞翔,从而不断培养学生丰富的想象力。
四、培养发散思维。
在教学中,培养学生的发散思维能力一般可以从以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件,联想多种结论;改变思维角度,进行变式训练;培养学生个性,鼓励创优创新;加强一题多解、一题多变、一题多思等。特别是近年来,随着开放性问题的出现,不仅弥补了以往习题发散训练的不足,同时也为发散思维注入了新的活力。下面是我在教学实践中遇到的一个例子,事情缘起于一本教辅读物的一个练习题:求f(x),使f(x)满足f[f(x)]=x+2……… (1),书后的答案是 f(x)= x+1。该题本意是在学生学习了函数的基本概念之后,通过一次函数复合的具体例子,让学生体会复合函数的概念。这样的设计思想是不错的,但是题目中没有明确给出“f(x)是一次函数”的条件,给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被告之应加上“f(x)是一次函数”的条件后,许多学生认为“f(x)是一次函数”的条件可由(1)推出,有些学生则认为根据不充分。在这样的情况下,求出函数方程(1)的一个非线性解的兴趣被唤起,我不愿放过这样一个能让学生开阔数学眼界,提升思维深度的大好机会。于是,我开始探究能否构造一个满足(1)的非线性函数的例子。
在具体进行构造之前,有必要了解f(x)的一些基本性质,以便构造时有正确的方向。由(1)知,f(x)定义域和值域都是一切实数;如果有x1,x2使f(x1)=f(x2) ,则f(f(x1))=f(f(x2));函数的复合满足结合律,即(f。f)。f(x)= f。(f。f)(x),由此得到f(x+2)=f(x)+2……(2)因此,我们只要对满足0
1)定义f(k)=k+1,k
2)若2k<x<2k+1,定义f(x)=2k+1+
3)若2k+1<x<2k+2,定义f(x)=2k+2+
命题:如此定义的函数f(x)满足函数方程f[f(x)]=x+2.
在上面的函数中,函数
例1.如取
例2.如取
例3.可以构造逐段线性函数f(x),如取
五、培养(诱发)学生的灵感。
在教学中,教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感,对于学生别出心裁的想法,违反常规的解答,标新立异的构思,哪怕只有一点点的新意,都应及时给予肯定。同时,还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感,促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。例如在一次不等式证明的复习课中,我举了这样一个例题:
问题的叙述如此简洁!要证明这个不等式成立,似乎无从下手。但我让学生观察不等式的结构形式——指数式,指数式怎么办?这时有学生说:化成对数式。这时我捕捉了学生的这一想法:
在分析中寻找解题的灵感,在转化中获取解题的信息,应用数形结合,于是活的解法也就脱颖而出。